MATEMATIKA

Borka Marinković

Estetika izračunavanja

Svaki broj ima svoje osobine

Retko ko ostaje ravnodušan kad se pomene matematika. Odrednice koje opisuju te osećaje i ta mišljenja su duboko polarizovane. One negativne najčešće se povezuju sa njenim formalnim učenjem, nastavnicima, strahovima koji prate učenje. Nasuprot tome, pozitivan odnos poistovećuje se sa dobrim rezultatima u edukaciji, u bavljenju matematikom i njenoj primeni. Malo će ko reći da je matematika lepa i da je to dovoljan razlog da se ponište sve odbojnosti prema njoj. Lepota je estetska kategorija koja je najvećim delom iracionalna, i teško ju je kvantifikovati. Ono što se može odrediti kao niz estetskih kriterijuma u matematici su: harmonija oblika i brojeva, savršene simetrije, jednostavnost i jasnoća, elegancija dokaza, iznenadno nadahnuće...

Matematičar Godfri Hardi (1877-1947) bio je dugogodišnji profesor Univerziteta u Kembridžu. Godine 1945. održao je seriju od dvanaest predavanja posvećenih samoukom indijskom matematičkom geniju Ramanudžanu (1887-1920). Na jednom od predavanja rekao je:
„Matematičar je kao slikar ili pesnik, kreator modela... Matematički modeli, kao i slikarski i pesnički, moraju biti lepi... Lepota je prvi test i nema mesta na ovom svetu za ružnu matematiku.”
Pretpostavlja se da su to reči Ramanudžana.

Taksi broj reda...

Ramanudžan je mogao da dokuči čudne osobine brojeva. Prema Hardijevoj priči, jednom prilikom, otišao je da poseti bolesnog druga. Do njega je išao taksijem broj 1729. Taj za njega običan broj nije predstavljao loš predznak za oporavak Ramanudžana. Međutim, bolesni drug je zaključio da se radi o veoma interesantnom i lepom  broju pošto je to najmanji broj koji se može izraziti kao zbir dva kuba na dva različita načina: (2)=1729=13+123=93+103. Zbog okolnosti u kojoj je uočen, taj broj dobio je ime Taksi-broj n-tog reda. Ovde je n=2.
Ramanudžan je, u jednom stručnom časopisu, naveo da je broj eπ√163 verovatno ceo jer je, računajući brojevnu vrednost, dobio osamnaestocifreni broj koji, iza decimalne tačke, ima sve cifre 9, tj. 262 537 412 640 768 743.999 999 999 999. Da je taj broj zaista ceo, to bi bilo jedno od najlepših otkrića u Teoriji brojeva, jer se radi o operacijama na dva transcedentna broja e i π i iracionalnom broju √163. Kasnijim  izračunavanjem utvrdilo se da, posle dvanaest devetki, slede decimale 250 072... a ne devetke.

Metode zaključivanja

Pitagora se bavio brojevima, dokazima, muzikom u matematici. Shvatio je da se tonovi u muzici mogu zapisati pomoću brojeva, zapravo razlomaka: ½, 1/3, ¾... U teoriji brojeva je otkrio iracionalne brojeve, zaključivši da su prirodni brojevi nedovoljni za konstrukcije. Pravougli trougao čije su katete dužine 1 ima hipotenuzu dužine √2, što je prvi iracionalan broj (decimalni zapisi iracionalnih brojeva: √3,√5,√7... imaju beskonačan niz decimala koje se ne ponavljaju pojedinačno niti u grupama, tako da je nemoguće predvideti sledeću decimalu). Pre ovog otkrića, za Pitagoru je priroda ceo svemir; fizički, metafizički, duhovni, moralni, matematički stvoren po uzorcima celih brojeva - svaki broj ima svoje osobine.
Pitagora je zaslužan za uvođenje dokaza u matematici. Mora se dokazati da je nešto uvek istinito - a ne pokazati ili empirijski zaključiti. Razvojem matematike proširio se i broj metoda zaključivanja: direktan, putem matematičke indukcije, svođenjem na apsurd (reducio ad absurdum), kontrapozicijom, iscrpljivanjem, konstrukcijom itd.

Osmi ton nedostaje…

U doba renesanse, astronomi su bili pod snažnim uticajem Pitagorinog učenja. Iz njihove perspektive, najveći nedostatak ovog modela bila je činjenica da planete proizvode samo sedam različitih tonova, dok potpuna skala sadrži osam. Da bi planetarni sistem bio estetski savršen, potrebno je bilo pretpostaviti da se i Zemlja kreće i da pritom proizvodi taj osmi ton koji nedostaje. Ova ideja, proistekla iz ljudske potrebe za idealnom lepotom, iz osnova je uzdrmala Ptolomejov sistem planeta i otvorila put za Kopernikovo fundamentalno otkriće.
I sam naziv „zlatni presek” („zlatni broj”, „božanstveni  presek”) upućuje na nešto lepo. U matematici, dve veličine su u zlatnom preseku ako je odnos veće prema manjoj jednak odnosu zbira te dve veličine i veće - (a+b)/a=a/b=φ. Taj količnik je const φ ≈ 1.618033... Npr. ako nešto želimo da podelimo na 13 delova, delimo u razmeri 8:5, ili na 21 deo razmera - 13:8 itd. Stari Grci su bili fascinirani ovim rezultatom pa su ga ugradili i u proporcije Partenona (odnos širine i visine ovog hrama iznosi φ). Pitagorejci su ovom broju pripisivali i neka mistična svojstva, pozivajući se na njegovu vezu sa osobinama pravilnog petougla. Svoj procvat „zlatni presek” je dobio u doba renesanse, kada su umetnici, matematičari… tražili savršenstvo u kompozicijama poznatih struktura. Čuveni Leonardov crtež Vitruvijevog čoveka pokazuje gde se sve može uočiti „zlatni presek” na čovekovom telu.

Primeri u prirodi 

Broj latica na cvetu je uvek jedan od 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89. Ovi brojevi su članovi Fibonačijevog niza (zbir dva je sledeći, te su oni u odnosu  „zlatnog  preseka”). Listovi na grani rastu na međusobnoj udaljenosti jednakoj broju φ, a na  spirali puževe kućice mogu se uočiti članovi Fibonačijevog niza. Odnos broja ženki i mužjaka u košnici je φ, ritam otkucaja srca čoveka, pa čak i struktura DNK su u „zlatnom  preseku”.
Posle toliko vekova, smatra se da je „zlatni presek” najsavršeniji presek u prirodi, potpuno u harmoniji s ljudskim okom.
Slavni francuski matematičar Poenkare je naveo: „Verujem da se u našem rasuđivanju više ne  pozivamo na intuiciju. Čista logika nas ne bi mogla dovesti ni do čega osim do tautologije (tvrđenje koje je uvek tačno za sve moguće vrednosti promenljivih koje u njemu učestvuju). Napraviti sliku kao geometriju… za to je potrebno još nešto osim čiste logike. Za to nešto mi nemamo drugu reč osim intuicija. Koliko se različitih ideja krije iza te reči?”

Vrsta “božanskog dodira”

Uobičajno se kaže da umetnici „stvaraju”, a naučnici „pronalaze”. Pravilnije bi bilo složiti se sa konstatacijom Artura Kestlera, književnika i novinara, da se obe delatnosti bave nekom vrstom istraživanja, svaka na svoj način. Upravo taj proces kod  matematičara proizvodi istinito estetsko osećanje, posebno u momentu matematičkog otkrića, kada dolazi do jedne vrste “božanskog dodira”. S tim u vezi ilustrativno je navesti stav nemačkog matematičara Gausa: „Ne znanje već proces učenja, i ne (matematički) rezultat već postupak dolaska do njega, pružaju najveće uživanje.”
Estetski senzibilitet ostaje i ako matematičar, u dobijenom rezultatu, otkrije grešku. Američki matematičar mađarskog porekla Džon Polja (1887-1985) je zapisao: „Elegancija matematičke teoreme je direktno proporcionalna naporu da se ona uoči.”
Primer „elegantnog” matematičkog dokazivanja je dokaz teoreme da postoji beskonačno mnogo prostih brojeva. Estetska vrednost ovog dokaza je u minimalizmu koji se ogleda u jednostavnosti s kojom se utvrđuje vrlo složena neintuitivna istina.

Mostovi između matematike i umetnosti

Čuvenog američkog matematičara Džordža Birkofa  (1884-1944) je, još kao studenta, zanimala formalna struktura muzike na zapadu. Zagonetka melodije toliko ga je inspirisala da je svoju teoriju primenio na estetske objekte kao što su poligoni, pločice, na jezičke forme i poeziju. Birkof je, baveći se eksperimentalnom estetikom, merio tri indikatora koji se mogu povezati sa merenjem lepote matematike: M - intenzitet estetskog doživljaja ili estetska mera, C - složenost estetskog predmeta koja je proporcionalna naporu pažnje potrebne za njegovu percepciju i O - mera uređenosti harmonije ili simetrija predmeta koji se posmatra.
Polazeći od funkcionalne zavisnosti M=f(O/C) i koristeći Košijevu funkcionalnu jednačinu f(x+y)=f(x)+f(y), Birkof je izveo jednostavnu formulu M=O/C. Pokazalo se da ona u praksi važi za jednostavne slučajeve. Želeći da proveri valjanost dobijene formule, u dva je navrata 1929 - na Kolumbija univerzitetu i 1930 - na Univerzitetu Harvard testirao studente na primeni 20 mnogouglova. Rezultati su potvrdili da mesto na skali mnogouglova odgovara njihovom estetskom izgledu.
Naš matematičar prof. dr Jablan Slavik (1952-2015) smatrao je da se sve matematičke strukture mogu vizuelizovati bez obzira koliko su apstraktne. Bio je jedan od najznačajnijih istraživača vizuelne matematike. Celog života je pravio mostove između matematike i umetnosti. Zahvaljijući razvoju digitalnih tehnologija i soficistiranih alata, kompjuterska grafika je doživela procvat i gotovo da je dovedena  do savršenstva.  Posebno su ga zanimale analiza simetrije vizuelnih umetnosti i ornamentalni dizajn, paleolitski ornamenti i OP-ART slagalice, teorija lavirinta sa fokusom na rimsku i keltsku umetnost…

Izdanci istog drveta

Ajnštajn: „Sve religije umetnosti nauka su grane istog drveta.Težnja svih je usmerena ka oplemenjivanju ljudskog života, uzdižući ga iz sfere puke fizičke egzistencije i vodeći pojedinca ka slobodi.” „Najlepša stvar koja se može iskusiti jeste osećaj misterije. Iz tog osećaja proizilaze i prava umetnost i prava nauka.”
Za svoju Teoriju relativnosti je rekao da je toliko elegantna da mora biti istinita. Ajnštajn je rođen 14.3. Taj dan je proglašen za Dan broja π  (3,14), a potom i za Dan matematike. Može se uočiti i estetska  komponenta ovog izbora.

Borka Marinković

Kompletni tekstove sa slikama i prilozima potražite u magazinu
"PLANETA" - štampano izdanje ili u ON LINE prodaji Elektronskog izdanja
"Novinarnica"